Opérateurs autoadjoints - hermitiques
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Définition
\(\triangleright\) Définition d'un opérateur autoadjoint ou hermitique
Un opérateur autoadjoint ou hermitique est un opérateur \(\hat T\) vérifiant:
$$\mapsto{{\hat T=\hat T^{\dagger} }}$$
Propriétés
\(\triangleright\) Proposition sur le spectre d'un opérateur autoadjoint
- Si \(\hat T\) est un opérateur hermitique \((\hat T^{\dagger}=\hat T)\), alors les valeurs propres \(\lambda\) sont réelles \(\lambda \in\Bbb R\)
- Si \(\hat T\) est un opérateur hermitique, alors ses kets propres (\(\ket {\Psi_1}\), \(\ket{\Psi_2}\)) associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux:
$${{\langle\Psi_1\ket{\Psi_2}=0}}$$
- On écrit $$\bar\lambda\langle\Psi\ket{\Psi}=\langle\lambda\Psi\ket{\Psi}=\langle\hat T\Psi\ket{\Psi}$$
$$=\langle\Psi\ket{\hat T^{\dagger}\Psi}=\langle\Psi\ket{\hat T\Psi}=\lambda\langle\Psi\ket{\Psi}$$
Donc \(\lambda=\bar\lambda\)
- On a $$\langle\Psi_2|\hat T\ket{\Psi_1}=\lambda_1\langle\Psi_2\ket{\Psi_1}=\lambda_2\langle\Psi_2\ket{\Psi_1}$$
Donc \((\lambda_1-\lambda_2)\langle\Psi_2\ket{\Psi_1}=0\) avec \((\lambda_1-\lambda_2)\neq 0\) donc \(\langle\Psi_2\ket{\Psi_1}=0\)
\(\triangleright\) Propriétés sur les valeurs propres des opérateurs hemitique
Si l'opérateur hermitique \(A\) est dimension \(n\) finie, alors \(A\) possède \(n\) Valeurs propres qui forment une base orthonormée.
Remarques
Les opérateurs \(\hat x, \hat p, \hat H\) sont des opérateurs autoadjoints
\(\triangleright\) Anti-autoadjoints
Si \(A\) est anti-autoadjoint: \(\langle{Ax|y}\rangle =\langle{x|-Ay}\rangle \)
Alors l'autoadjoint est: \(B={{iA}}\)
\(\triangleright\) Remarque diagonalisation d'un opérateur hermitique
Un opérateur hemitique est toujours diagonalisable.
